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Aufgabe UE-10

 Source Code: aufg_10.m

1. Einleitung

Gegeben sind 3-dimensionale Beobachtungsvektoren x_i von 3-dimensionalen Zufallsvektoren X_i, und eine affine Transformation:



Die Aufgabe ist, das Mittel und die Kovarianzmatrix von den 2-dimensionalen Zufallsvektoren Y zu berechnen, zuerst ausgehend von der Schätzung des Mittels und der Kovarianzmatrix von X, dann anhand den transformierten Samples. Die MATLAB Lösung für diese Aufgabe findet sich unter diesem Link.


2. Lösungsweg

Die Lösung besteht aus den folgenden Schritten: Zuerst sollen die Schätzer des Mittelwerts und der Kovarianzmatrix von X_i anhand den Formeln 109 und 112 aus dem Skriptums berechnet werden:



Abbildung 1: Formeln für den Schätzer des Mittelwerts und der Kovarianzmatrix aus dem Skriptum


Mit dem Lemma 2 aus dem Skriptum werden der Mittelwert und die Kovarianzmatrix der transformierten Zufallsvariablen geschätzt:


Abbildung 2: Lemma 2 aus dem Skriptum


Im zweiten Fall werden die Samples zuerst transformiert, denn dann können die Formeln 109 und 112 aus dem Skriptum verwendet werden.


3. Ergebnisse

Der Mittelwert und die Kovarianzmatrix von X_i sind:




Der Mittelwert und die Kovarianzmatrix der transformierten Zufallsvariablen sind:




Die beiden Methoden kommen zum gleichen Ergebnis.


3. Interpretation

Wir haben gesehen, dass die verwendeten Methoden für zur Berechnung des Mittelwertes und der Kovarianzmatrix einer affiner Transformation das gleiche Ergebnis liefern. Das Lemma 2 aus dem Skriptum wurde daher empirisch verifiziert. Es ist egal, ob man die Parameter einer Zufallsvariable vor oder nach einer affine Transformation berechnet:




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