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Aufgabe UE-2.0

 Source Code: aufg_2_0.m

Aufgabe UE-2.0


1. Einleitung

Die Aufgabe in diesem Beispiel ist die Betrachtung zufällig generierter normalverteilten Stichproben. Hierfür werden je 100 Stichproben betrachtet, deren Umfang die Werte 5/30/100/500 beträgt. Es soll der Mittelwert und die Varianz der gesamten Stichproben betrachtet werden.

Abschnitt 2 stellt die Umsetzung dieser Aufgabe dar. In Abschnitt 3 werden die Ergebnisse präsentiert und in Abschnitt 4 interpretiert.

2. Lösungsweg

Die Aufgabe wurde in Matlab 7.0 (R14) umgesetzt. Die Implementierung ist in der Skriptdatei aufg_2_0.m enthalten.

Die Lösung folgt folgendem Ablauf. Sie generiert 100 Stichproben für einen gegebenen Umfang und speichert deren Mittelwerte in einen Vektor. Dieser Vektor wird dann in einem Histogramm dargestellt. Abschließend werden der Mittelwert und die Varianz dieses Ergebnisvektors ausgegeben. Eine genaue Reproduktion der Ergebnisse aus Abbildung 1 und Tabelle 1 ist hierbei nicht möglich, da Matlab die Stichproben zufällig generiert. Jedoch lassen sich Ergebnisse mit einer ähnlichen Größenordnung reprodzieren.

3. Ergebnisse

Die Mittelwerte der 100 Stichproben verteilen sich um den Mittelwert der Normalverteilung aus welcher die Stichproben generiert worden sind. In folgender Grafik ist ein Histogramm dieser Mittelwerte für eine Stichprobengröße = 100 dargestellt.


Abbildung 1: Histogramm - Stichprobengröße = 100

Dieses Histogramm verändert sich über alle Stichprobengrößen nur in seiner Ausdehnung (Varianz). Diese Beobachtung ist auch in den Ergebnissen der berechneten Mittelwerte und Varianzen zu erkennen. Diese sind in nachfolgender Tabelle dargestellt:


Tabelle 1: Mittelwerte und Varianzen der Stichprobengrößen 5/30/100/500

Tabelle 1 zeigt, dass sich die Mittelwerte aller Stichprobengrößen um den Wert des Mittelwerts der Verteilung, aus welcher die Stichproben generiert worden sind, verteilen. Weiters sinkt mit steigender Stichprobengröße die Varianz der Mittelwerte der Stichproben. Es besteht daher ein direkter Zusammenhang zwischen Stichprobengröße und Varianz der Stichproben. Desweiteren nähert sich mit wachsenden Stichprobengröße der Mittelwert der Stichproben immer mehr dem theoretischen Wert (µ = 4.0) an.

4. Interpretation

Das Generieren von Stichproben durch Matlab ermöglicht mit steigender Stichprobengröße Stichproben, welche näher am theoretischen Ideal liegen. Das bedeutet auch, dass unendlich große Stichproben genau den Mittelwert und eine Varianz von Null ergeben. Andererseits bedeutet eine Erhöhung der Stichprobengröße eine Erhöhung der Rechenzeit. Die Wahl der Stichprobengröße ist daher ein Kompromiss zwischen Rechenzeit und Genauigkeit.
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