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Source Code: aufg_3.m |
1. EinleitungDie Lösung der Aufgabe besteht aus vier Teilen. Zuerst soll die Variable x* bestimmt werden. Diese wird aus folgender Gleichung ermittelt:![]() Danach soll die Lösung für zwei gegebene Normalverteilungen verifiziert werden. Dies wäre der rechnersiche Weg, es soll aber der Wert für x* auch näherungsweise aus der grafischen Darstellung der Verteilungsfunktionen ermittelt werden. Außerdem wird die Frage geklärt, ob ein Vertauschen der Dichtefunktionen in der oben angegebenen Gleichung eine Veränderung des Ergebnisses bewirkt. 2. Ergebnisse2.1 Ermitteln von x*Der erste Teil der Aufgabe war, die Variable x* aus folgender Aufgabenstellung zu ermitteln:Gegeben sind zwei normalverteilte Zufallsvariablen:
Sie besitzen die Dichtefunktionen p1(x) und p2(x). Es soll nun x* als Funktion der Mittelwerte und Standardabweichungen der zwei Zufallsvariablen ermittelt werden, wobei gelten soll: ![]() Diese Aussage ist gleichbedeutend mit: ![]() Die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen werden für X1 als F1 und für X2 als F2 bezeichnet. Beide lassen sich durch eine Umrechung in die Standardnormalverteilung überführen. Die sieht dann folgendermaßen aus - N bezeichnet die Standardnormalverteilung: ![]() Nun lässt sich die Aufgabe folgendermaßen formulieren: ![]() Es gilt weiters: ![]() Daher kann man die Gleichung umformen zu: ![]() Dies lässt sich darstellen als: ![]() Diese Gleichung kann nun weiter umgeformt werden, um x* zu isolieren: ![]() Und das Ergebnis lautet daher: ![]() 2.2 Evaluierung des ErgebnissesDas Ergebnis für x* soll nun für zwei konkrete normalverteilte Zufallsvariablen verifiziert werden. Diese haben folgende Eckdaten:
Setzt man diese Daten in die Gleichung für x* aus Kapitel 2.1 ein, erhält man als Ergebnis den Wert -0.3666. Dieser Wert ergibt für die jeweiligen Zufallsvariablen folgende Wahrscheinlichkeiten: ![]() ![]() 2.3 x* grafisch ermittelnEs ist auch möglich, x* näherungsweise aus einem Plot der Verteilungsfunktionen zu bestimmen. Dies wird hier durch eine Grafik illustriert:![]() Die blaue Kurve zeigt die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X1, die grüne Kurve die von 1 minus der Verteilungsfunktion von X2. Der Schnittpunkt der beiden Kurven bestimmt x*, indem man den Wert an dieser Stelle auf der x-Achse abliest. Der rote Strich in der Grafik markiert diesen Wert, nämlich -0.3666 auf der x-Achse. 2.4 Vertauschen der DichtefunktionenHier soll die Frage geklärt werden, ob sich der Wert für x* ändert, wenn man die Dichtefunktionen vertauscht. Die Angabe ändert sich dann zu:![]() Daraus ergibt sich: ![]() Die Antwort auf die Frage ist, dass diese Vertauschung keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Erklären lässt sich das dadurch, dass die Fläche unter der Dichteverteilung insgesamt immer gleich 1 sein muss. Dadurch ist das Verhältnis der beiden zu berechnenden Flächen immer gleich. Zuerst wurde die Fläche unter der gesamten Funktion der Dichteverteilung bis zur Grenze x* für beide Normalverteilung ermittelt. Nun wird die dazu relativ kleine Fläche von der Grenze weg für beide Verteilungen ermittelt. Das ergibt im Endeffekt einen kleineren Wahrscheinlichkeitswert, es ändert sich aber nichts am Verhältnis der beiden Flächen zueinander. Zur Verifizierung dieses Ergebnisses wird die obige Gleichung analog zu Kapitel 2.1 ausgerechnet. Diese Umformung sieht dann folgendermaßen aus: ![]() Das Ergebnis ist daher das gleiche wie in Kapitel 2.1: ![]() 3. InterpretationZwischen einem Paar von Normalverteilungen lässt sich ein Punkt finden, an dem die Fläche links davon unter der einen Normalverteilung genau gleich ist der Fläche rechts davon unter der zweiten Normalverteilung. Graphisch lässt sich das folgendermaßen darstellen:![]() Die grün schraffierte Fläche in der Abbildung hat die gleiche Größe wie die blau schraffierte, also gilt die schon unter 2.1 erwähnte Gleichung: ![]() Eine solche Grenze gibt es für zwei Normalverteilungen nur einmal, und im Fall dass die zwei Normalverteilungen genau gleich sind, ist sie gleich dem Mittelwert. Es gibt es für jedes beliebige Paar von Normalverteilungen eine solche Grenze. Anhand der Verteilungsfunktionen lässt sich die Grenze graphisch eindeutig ermitteln, wie in Kapitel 2.3 beschrieben. Anhand einem Plot der Dichteverteilungen ist die graphische Bestimmung nicht mehr eindeutig. Wenn die zwei Normalverteilungen nur einen Schnittpunkt haben (wie in der Abbildung oben), so bestimmt dieser Schnittpunkt den Wert der Grenze. Die beiden Dichtefunktionen können aber auch mehrere Schnittpunkte haben, wenn ihre Mittelwerte sehr nahe beieinander liegen. In diesem Fall würde die graphische Bestimmung nicht mehr eindeutig funktionieren. |
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