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Aufgabe UE-9

 Source Code: aufg_8_9.m

1. Einleitung

Ziel der Aufgabe ist es, den Rayleigh-Quotienten für die Samples aus Aufgabe UE-8 zu berechnen. Dabei soll der Richtungsvektor von 0 bis 360 Grad rotieren und mit den Rayleigh-Quotienten skaliert ausgegeben werden. Außerdem werden die Eigenvektoren der Kovarianz- und Korrelationsmatrix berechnet.


2. Lösungsweg

In Zeile 66 und 67 im Source-Code wird der Richtungsvektor berechnet, der in Abständen von 2*pi/360 von 0 bis 360 Grad rotiert. Die Berechnung des Rayleigh-Quotienten erfolgt ab Zeile 74 entsprechend der Gleichung Nummer 181 im Skriptum, die Normierung ab Zeile 81. Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren passiert ab Zeile 96 im Source-Code. Die Eigenvektoren werden mit den zugehörigen Eigenwerten skaliert und zusammen mit den Rayleigh-Quotienten geplottet.


3. Ergebnisse


Das Ergebnis sieht folgendermaßen aus:


Abbildung 1: Rayleigh-Quotient und Eigenvektoren


Der Rayleight-Quotitent in rot wurde aus der Kovarianzmatrix bestimmt. Die grüne Kurve beschreibt den Rayleigh-Quotient, der aus der Korrelationsmatrix berechnet wurde. Die Eigenvektoren in blau gehören zur Kovarianzmatrix, die in magenta zur Korrelationsmatrix. In der nächsten Abbildung sind die Eigenvektoren noch einmal alleine dargestellt, wieder nach ihren Eigenwerten skaliert:


Abbildung 2: Eigenvektoren skaliert mit Eigenwerten


Die Eigenwerte betragen
- für die Kovarianzmatrix: 1.4251 und 13.5665
- für die Korrelationsmatrix: 0.5138 und 1.4862


4. Interpretation

Fasst man den Rayleigh-Quotienten als Funktion von Rp nach R auf, so sind die Extremwerte in R die Eigenwerte der zugehörigen Matrix. Die Extremstellen in Rp geben die Eigenvektoren an. In Richtung des ersten Eigenvektors wird die Varianz in den Daten jeweils maximal, in Richtung des zweiten Eigenvetktors wird sie minimal. Diese Richtungen haben auch für den Rayleigh-Quotienten eine Bedeutung: Die Eigenvektoren zeigen in Richtung der Extremstellen des Rayleih-Quotienten. Die jeweiligen Eigenwerte geben dann dann die Extremwerte des Rayleigh-Quotienten an.


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