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Aufgabe UE-6

 Source Code: aufg_6.m

1. Einleitung

Gegeben sind zwei normalverteilten Merkmale, ihre priors und zwei loss-Funktionen. Die Aufgabe ist, das conditional und overall risk zu berechnen und zu plotten, zuerst mit einer vorgegebenen Entscheidungsgrenze, danach mit der optimalen Entscheidungsgrenze.


2. Lösungsweg

Gegeben sind zwei Klassen mit normalverteilte Merkmalen:



die folgende asymmetrische loss-Funktion:



und die a priori Verteilungen:




Zuerst sollen die gewichteten class conditional pdfs und die evidence bestimmt werden:




Dann soll das conditional risk berechnet und geplottet werden:




Das overall risk davon ergibt sich aus:




Da Konstanten aus dem Integral herausgezogen werden können, und , ist diese Aussage gleichbedeutend mit:




Diese Funktion lässt sich berechnen mit Hilfe der MATLAB-Funktion normcdf.


3. Ergebnisse


Overall risk für optimale und nicht optimale Entscheidungsgrenzen bei assymmetrischem Loss
aprioris x*=4 x_bayes x_bayes liegt
P(w1)=P(w2)=0.5 0.3069 0.3002 4.18
P(w1)=0.9,P(w2)=0.1 0.4614 0.2081 5.3





Overall risk für optimale und nicht optimale Entscheidungsgrenzen bei symmetrischem 0/1 loss
aprioris x*=4 x_bayes x_bayes liegt
P(w1)=P(w2)=0.5 0.2614 0.1587 5
P(w1)=0.9,P(w2)=0.1 0.4523 0.0701 6.1






Der erste Fall bei 0/1 loss wird auf die gleiche Art berechnet, deshalb ist die optimale Entscheidungsgrenze die Durchschnitt der zwei Erwartungswerte. Der zweite Fall bleibt noch immer unsymmetrisch aufgrund der verschiedenen prior-Verteilungen. Das overall risk ist allgemein weniger, weil es weniger loss bei Misklassifikation der Klasse 2 gibt.


3. Interpretation

Bei diese Aufgabe wird deutlich, wie wichtig es ist, die optimale Entscheidungsgrenze zu findem, um das risk zu minimieren. Bei falsch gewählten Entscheidungregionen kann das overall risk ein Mehrfaches des Optimum sein. Es wurde auch beobachtet, wie streng das risk und die Entscheidungsgrenze von den priors und der loss-Funktion abhängen.


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